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By Heinz Spindler

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15 Es sei X Pn endlich und in allgemeiner Lage. k 2 sei minimal gewahlt, so da jX j kn. Dann ist X der Durchschnitt von Hyper achen vom Grad k. Fall: d = kn. Induktion nach k. k = 2 ist schon bewiesen. (k 1) ! k (k 3): Es sei M = fF 2 Sk Sj F(p) = 0 8 p 2 X g. Es sei q 2 V(M). Zu zeigen ist: q 2 X. Behauptung 1: X = ki=1 Xi ; jXi j = n 8 i ) 9 i, so da q 2 Span(Xi ). 14. Sei wieder Y X minimal mit q 2 Span(Y ). Nach Behauptung 1 ist m = jY j n. Sei Y 0 X n Y beliebig mit jY 0j = n m + 1 und p 2 Y fest gewahlt.

R ! K; a 7 ! a1 ist injektiv, also kann man R als Unterring von K auffassen. Jeder Ring N 1R; N R multiplikativ, ist dann ein Unterring von K: R N 1R K: b) Ist R beliebig, und p R ein Primideal, so ist N = R p multiplikativ und Rp := N 1 R hei t die Lokalisierung von R in p. Bemerkenswert ist na o m= j a 2 p; b 2 R n p Rp b ist das einzige maximale Ideal in Rp . Beweis: 1) m ist Ideal: a c = ad cb 2 m , wenn a; c 2 p; b; d 2 R n p: b d bd 2) Rp n m = Menge der Einheiten in Rp . x 2 Rp n m ) x = ab fur ein a 2 R n p; b 2 Rp ) y = ab 2 Rp mit xy = 1: Umgekehrt: ab dc = 1 , 9 e 2 R n p : e(ac bd) = 0 ) eac = abd 2 R n p: Da p Ideal, folgt a 2 R n p, also ab 2 Rp n m: 3) Ist nun I Rp Ideal mit I 6= Rp , so ist I \ (R | p{zn m}) = ;, also I m: 2 c) Ist f 2 R, so ist N Einheiten n = ff j n 2 Ng naturlich multiplikativ.

Es sei K ein Korper. A n = A n (K) = K n. 1 Es sei X An eine a ne Varietat in A n . A X hei t (Zariski-)abgeschlossen in X : () 9 f1 ; : : :; fm 2 K z1 ; : : :; zn ]; so da A = X \ V(f1; : : :; fm ): U X hei t (Zariski-)o en in X : () X n U ist Zariski-abgeschlossen in X: T = fU j U nach: X o eng hei t die Zariski-Topologie auf X. Man pruft leicht die Axiome 1){3) S T 1) Ist Ui = X n V(Mi); MiS K z1 ; : : :; zn] fur i 2 I, so ist U = i2I Ui = X n i2I V(Mi) = X n V(M), wobei M = i2I Mi . 2) Ist U = X n V(M); V = X n V(N), so ist U \ V = X n (V(M) V(N)) = X n V(MN), wobei MN = ffg j f 2 M; g 2 N g.

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Algebraische Geometrie I by Heinz Spindler

by Paul

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